Для начала преобразуем данное неравенство:

a$x^2+2x+1$ > x^2 + 3x + 3

ax^2 + 2ax + a > x^2 + 3x + 3

$a{x}^2+2ax+a$ - $x^2+3x+3$ > 0

$a{x}^2+2ax+a-x^2-3x-3$ > 0

$a{x}^2-x^2$ + $2ax-3x$ + $a-3$ > 0

$a-1$x^2 + $2a-3$x + $a-3$ > 0

Данное квадратное неравенство имеет действительные корни x1 и x2, такие что x1 < x < x2.

Чтобы неравенство выполнялось хотя бы при одном значении x < 1, необходимо чтобы при х = 1 выполнялось условие на знак выражения в левой части неравенства:

$a-1$ + $2a-3$ + $a-3$ > 0

4a - 7 > 0

4a > 7

a > 7/4

Таким образом, данное квадратное неравенство будет выполняться хотя бы при одном значении x < 1, если параметр а превышает значение 7/4.