Алгебра. Линейные пространства. Доказать, что { sinX, cosX } - базис линейного пространства функций f(x) = aSinX+bCosX, где a,b ∈ R. Какова размерность этого пространства?
Составьте линейную комбинацию функций sinx, cosx, приравняйте ее к нулю.
Затем продифференцируйте равенство. Вы получите систему относительно коэффициентов линейной комбинации. У нее для всех значений х единственное решение. Найдите его.
Мне уже преподаватель подсказку дал, но я всё равно никак не могу понять как это сделать... Может кто нить написать либо пример подобный, либо сразу решение?
Алгебра. Линейные пространства. Доказать, что { sinX, cosX } - базис линейного пространства функций f(x) = aSinX+bCosX, где a,b ∈ R. Какова размерность этого пространства?
Составьте линейную комбинацию функций sinx, cosx, приравняйте ее к нулю.
Затем продифференцируйте равенство. Вы получите систему относительно коэффициентов линейной комбинации. У нее для всех значений х единственное решение. Найдите его.
Мне уже преподаватель подсказку дал, но я всё равно никак не могу понять как это сделать... Может кто нить написать либо пример подобный, либо сразу решение?
Составьте линейную комбинацию функций sinx, cosx, приравняйте ее к нулю.
Затем продифференцируйте равенство. Вы получите систему относительно коэффициентов линейной комбинации. У нее для всех значений х единственное решение. Найдите его.
Мне уже преподаватель подсказку дал, но я всё равно никак не могу понять как это сделать... Может кто нить написать либо пример подобный, либо сразу решение?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Конечно, давайте решим эту задачу вместе.
Пусть функция f(x) = a sin(x) + b cos(x), где a, b ∈ R. Давайте рассмотрим линейную комбинацию функций sin(x) и cos(x):
c sin(x) + d cos(x) = 0, где c и d - коэффициенты линейной комбинации.
Теперь продифференцируем это равенство:
c cos(x) - d sin(x) = 0.
Получаем систему уравнений:
1) c sin(x) + d cos(x) = 0
2) c cos(x) - d sin(x) = 0
Решив эту систему, получаем:
c = 0, d = 0.
Таким образом, единственное решение системы - это тривиальное решение. Это означает, что функции sin(x) и cos(x) линейно независимы, а значит, { sin(x), cos(x) } - базис линейного пространства функций f(x) = a sin(x) + b cos(x).
Размерность этого пространства равна 2, так как базис состоит из двух функций.