Для выбора первой пары нам нужно выбрать 2 человек из 10, это можно сделать ${10 \choose 2}$ способами.
После того как мы выбрали первую пару, для второй пары осталось 8 человек (так как 2 уже выбраны), и мы должны выбрать 2 человек из 8. Это можно сделать ${8 \choose 2}$ способами.
Наконец, для третьей пары осталось 6 человек (так как 4 уже выбраны), и мы также должны выбрать 2 человек из 6. Это можно сделать ${6 \choose 2}$ способами.

Итак, общее количество способов выбрать 3 пары из 10 человек: ${10 \choose 2} \cdot {8 \choose 2} \cdot {6 \choose 2}$.

Вычислим это значение:

${10 \choose 2} = 45$, ${8 \choose 2} = 28$, ${6 \choose 2} = 15$

Таким образом, общее количество способов выбрать 3 пары из 10 человек равно $45 \cdot 28 \cdot 15 = 18900$.

Итак, существует 18900 способов выбрать 3 пары из 10 человек.