Для нахождения предела lim∞ sqrt(x^2 + 5x) - x, можно преобразовать выражение:

sqrt(x^2 + 5x) = sqrt(x^2(1 + 5/x)) = sqrt(x^2 (1 + 5/x)) = x sqrt(1 + 5/x)

Тогда lim∞ sqrt(x^2 + 5x) - x = lim∞ x * sqrt(1 + 5/x) - x = lim∞ x(√(1 + 5/x) - 1)

Теперь, чтобы найти предел этого выражения, воспользуемся формулой:

limₓ→∞ (f(x) - g(x)) = limₓ→∞ f(x) - limₓ→∞ g(x)

limₓ→∞ x(√(1 + 5/x) - 1) = limₓ→∞ x * limₓ→∞ (√(1 + 5/x) - 1)

Теперь подставим x = ∞:

∞ (sqrt(1 + 0) - 1) = ∞ (1 - 1) = ∞ * 0 = 0

Таким образом, предел lim∞ sqrt(x^2 + 5x) - x равен 0.