Для решения этой задачи нам понадобится формула объема цилиндра: V = πr^2h, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Так как диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, то получаем, что это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны r и r, а гипотенуза равна 6√2 см.

Используем теорему Пифагора:
r^2 + r^2 = $6\surd 2$^2
2r^2 = 36*2
2r^2 = 72
r^2 = 36
r = 6 см

Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого можем воспользоваться тем, что угол наклона диагонали к плоскости основания составляет 45 градусов. Тогда получается, что прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой и радиусом является равнобедренным.

Таким образом, можем найти высоту цилиндра:
h = r = 6 см

Теперь можем найти объем цилиндра:
V = πr^2h = π6^26 = 216π см^3

Ответ: объем цилиндра равен 216π см^3.