Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке [1;4] нужно вычислить значения функции в точках 1 и 4, а также найти критические точки функции внутри промежутка и проверить их на экстремумы.

Вычисление значений функции в точках 1 и 4:
y(1) = (4/31)^3 - 31^2 = 4/3 - 3 = -7/3
y(4) = (4/34)^3 - 34^2 = 64 - 48 = 16

Нахождение критических точек внутри промежутка [1;4]:
Для этого найдем производную функции y'(x) = 4x^2 - 6x и приравняем её к нулю:
4x^2 - 6x = 0
2x(2x - 3) = 0
Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = 3/2. Однако точка x = 0 не входит в промежуток [1;4], поэтому остается проверить критический точку x = 3/2.

Проверка критической точки x = 3/2 на экстремум:
y(3/2) = (4/3(3/2))^3 - 3(3/2)^2 = 8 - 9/2 = 7/2

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [1;4] равно 16, а наименьшее значение равно -7/3.