Для нахождения максимального значения суммы корней уравнения x^2 -2nx+12n^2+6n=0 воспользуемся формулой Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением корней:
Сумма корней: S = 2n
Произведение корней: P = 12n^2 + 6n

Максимальное значение суммы корней достигается в том случае, когда 2n достигает максимального значения. Для этого возьмем производную функции S = 2n и приравняем ее к нулю:
dS/dn = 2 = 0
Отсюда получаем, что значение n, при котором сумма корней будет наибольшей, равно n = 1.

Таким образом, при n = 1 сумма корней уравнения x^2 - 2x + 18 = 0 будет наибольшей и равняться 2.