Для нахождения длин диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b, нужно воспользоваться формулой для нахождения длины вектора, которая выглядит следующим образом: |c| = √(c1² + c2²), где c1 и c2 - координаты вектора c.

Сначала найдем координаты векторов a и b, используя данные из условия:

a = 2m + 2n = 22 + 21 = 4 + 2 = (4, 2)
b = -m + 4n = -2 + 4 = (2, 4)

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
|b| = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

Теперь найдем угол между векторами a и b, используя их скалярное произведение:

cos(θ) = (ab) / (|a||b|)
где а*b - скалярное произведение векторов a и b

ab = 42 + 2*4 = 8 + 8 = 16

cos(θ) = 16 / (2√5 * 2√5) = 16 / 20 = 4 / 5

θ = arccos(4 / 5) ≈ 36.87 градусов

Диагонали параллелограмма длиной |d| можно найти по формуле:

|d| = √(|a|² + |b|² - 2|a||b|cos(θ))
|d| = √((2√5)² + (2√5)² - 22√52√5cos(36.87))
|d| = √(20 + 20 - 400.8)
|d| = √40 - 32
|d| = √8
|d| = 2√2

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b, равны 2√2.