Периметр – это сумма всех сторон треугольника. Если отношение периметров двух подобных треугольников равно 52, то можно записать это как:
( \frac{P_1}{P_2} = 52 ).
Также, известно, что сумма площадей подобных треугольников равна 174 см^2. Это можно записать как:
( S_1 + S_2 = 174 ).

Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения их сторон (или высот):
( \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 ),
где ( a_1 ) и ( a_2 ) – соответственные стороны (или высоты) треугольников.

Пусть ( x ) – отношение сторон ( a_1 ) и ( a_2 ). Тогда можем представить периметры треугольников и площади через это отношение:
( P_1 = 52x ),
( P_2 = 52 ),
( S_1 = 174x ),
( S_2 = 174 ).

Также, можем выразить площади через стороны:
( S_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot (a_1 \cdot x) = \frac{1}{2} \cdot a_1^2 \cdot x ),
( S_2 = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_2^2 ).

Таким образом, уравнение ( S_1 + S_2 = 174 ) примет вид:
( \frac{1}{2} \cdot a_1^2 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot a_2^2 = 174 ).
Зная, что ( a_1 = xa_2 ), можно записать:
( \frac{1}{2} \cdot (xa_2)^2 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot a_2^2 = 174 ),
( \frac{1}{2} \cdot x^3 \cdot a_2^2 + \frac{1}{2} \cdot a_2^2 = 174 ),
( \frac{1}{2} \cdot a_2^2 \cdot (x^3 + 1) = 174 ),
( a_2^2 = \frac{174 \cdot 2}{x^3 + 1} ).

Теперь можем найти значение площадей каждого треугольника.