Для исследования сходимости ряда ∑n=1∞arctan(n^2+1)/(n^4+3n+1) сравним его с рядом ∑n=1∞1/n^s, где s – параметр, который нужно подобрать.
Используя асимптотическое разложение для арктангенса (arctan(x)~x при x->0), получаем, что при больших n имеет место следующее неравенство: arctan(n^2+1) < n^2+1.
Таким образом, сравниваем наш ряд с рядом ∑n=1∞(n^2+1)/(n^4+3n+1).
Приведем его к более простому виду: ∑n=1∞n^2/(n^4+3n+1) + ∑n=1∞1/(n^4+3n+1).
Первый ряд сходится (по признаку сравнения с p-рядом, где p=2) и имеет более высокий порядок, чем второй ряд. Следовательно, сравнивая второй ряд с рядом ∑n=1∞1/n^s, видим, что для сходимости нашего ряда необходимо, чтобы s>4.
Таким образом, для исследования ряда ∑n=1∞arctan(n^2+1)/(n^4+3n+1) на сходимость, достаточно сравнить его с рядом ∑n=1∞1/n^s, где s>4.