Дано:

l + r = 15

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = $1/3$ π r^2 * h

Для нахождения наибольшего объема сока, мы должны выразить высоту h через радиус r:

h = sqrt$l^2-r^2$

Подставляем h в формулу объема и находим производную по радиусу:

V = $1/3$ π r^2 * sqrt$l^2-r^2$

dV/dr = $1/3$ π $2r\ast sqrt(l^2-r^2)-r^2/sqrt(l^2-r^2)$

Приравниваем производную к нулю:

$1/3$ π $2r\ast sqrt(l^2-r^2)-r^2/sqrt(l^2-r^2)$ = 0

Упрощаем выражение:

2r * sqrt$l^2-r^2$ - r^2 / sqrt$l^2-r^2$ = 0

Умножаем обе части на sqrt$l^2-r^2$:

2r$l^2-r^2$ - r^2 = 0

2r * l^2 - 2r^3 - r^2 = 0

2r l^2 - r^2 $2r+1$ = 0

Выражаем r:

r = 0 или r = l^2 / $2l+1$ ≈ 7.791

Подставляем значение радиуса обратно в выражение для высоты:

h = sqrt$l^2-r^2$ ≈ 5.418

Теперь можем найти объем сока:

V = $1/3$ π $7.791$^2 * 5.418 ≈ 403.930 см^3

Наибольший объем сока, который можно налить в сосуд в виде конуса, равен примерно 403.930 см^3.