Функция y = x^2 + 9/x имеет областью определения все действительные числа, за исключением x=0 (так как деление на ноль невозможно).

Найдем точки, где производная функции равна нулю (точки экстремума):

y' = 2x - 9/x^2

2x - 9/x^2 = 0
2x = 9/x^2
2x^3 = 9
x^3 = 9/2
x = (9/2)^(1/3)
x = ∛(9/2)

Получаем, что x ≈ 1.777, а точнее x ≈ 1.5216

Определим знак производной в окрестности найденной точки:

Подставим в производную значения меньше и больше ∛(9/2):

При x < ∛(9/2): y' < 0 (функция убывает)При x > ∛(9/2): y' > 0 (функция возрастает)Найдем вторую производную для точки x ≈ 1.5216 и определим ее знак:

y'' = 2 + 18/x^3
y''(1.5216) = 2 + 18/(1.5216)^3 ≈ 2 + 7.113 > 0

Таким образом, точка x ≈ 1.5216 является точкой минимума функции.

Итак, промежутки возрастания функции - от ∛(9/2) и далее, а промежутки убывания - от начала координат до ∛(9/2). Точка минимума - (1.5216, f(1.5216)).