Пусть число, квадрат которого мы рассматриваем, равно $10^n$, где $n$ - натуральное число.
Тогда сумма цифр этого числа равна $1$.
Квадрат этого числа равен $10^{2n}$.
Сумма цифр квадрата числа $10^n$ равна $1+0+0+0+...+0=1$.
Отношение суммы цифр квадрата числа к сумме цифр самого числа равно $1/1=1$.
То есть существуют числа, сумма цифр квадрата которых равна сумме цифр самого числа.

Докажем, что также существует число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.

Пусть число, квадрат которого мы рассматриваем, равно $10^{3n}$, где $n$ - натуральное число.
Тогда сумма цифр этого числа равна $1$.
Квадрат этого числа равен $10^{6n}$.
Сумма цифр квадрата числа $10^{3n}$ равна $1+0+0+0+...+0=1$.

Отношение суммы цифр квадрата числа к сумме цифр самого числа равно $1/1=1$.
То есть мы нашли число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.

Таким образом, доказано, что существует число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.