Для нахождения коэффициента a2 разложения функции F(x) в ряд Тейлора по степеням (x+1) нужно вычислить производные функции F(x) и подставить их в формулу Тейлора.

Исходная функция: F(x) = x^5 - 2x^3 + 8x^2 + 8x + 14

Вычислим первую и вторую производные:
F'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 16x + 8
F''(x) = 20x^3 - 12x + 16

Подставляем исходную функцию и ее производные в формулу Тейлора:
F(x) = F(a) + F'(a)(x-a) + F''(a)(x-a)^2/2! + ...

где a = -1 (по условию задачи, так как ищем разложение в ряд Тейлора по (x+1)).

Таким образом, коэффициент a2 будет равен коэффициенту при (x-a)^2 в разложении:
a2 = F''(-1)/2 = F''(-1)/2 = 20(-1)^3 - 12(-1) + 16 / 2 = 20 + 12 + 16 / 2 = 48 / 2 = 24

Ответ: коэффициент a2 = 24.