Для решения подобных задач можно воспользоваться методом математической индукции.

Проверим базу индукции:
Для n = 1, an = 91 + 1 - 181 - 9 = 1, что делится на 18.
Значит, утверждение верно для n = 1.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть ak делится на 18.
Теперь докажем, что утверждение верно и для k+1:

ak+1 = 9(k+1) + 1 - 18(k+1) - 9
ak+1 = 9k + 9 + 1 - 18k - 18 - 9
ak+1 = 9k + 1 - 18k - 27

ak+1 = (9k + 1 - 18k - 9) + 18
ak+1 = ak + 18

Значит, ak+1 является суммой ak и числа 18, которое является кратным 18.
Таким образом, утверждение верно и для n = k+1.

Так, по принципу математической индукции, доказано, что для любого натурального n an делится на 18.