Для начала заметим, что tg(2a) = sin(2a) / cos(2a).

Заменим в данном тождестве sin(4a) на 2sin(2a)cos(2a), чтобы получить:
2sin(2a)cos(2a) + sin(2a)cos(2a)/cos(2a) = tg(2a).

Факторизуем обе части уравнения:
sin(2a)(2cos(2a) + cos(2a)/cos(2a)) = tg(2a),
sin(2a)(2cos(2a) + 1) = tg(2a).

Очевидно, что тождество верно, так как sin(2a)(2cos(2a) + 1) = 2sin(2a)cos(2a) + sin(2a)cos(2a) = sin(4a) + sin(2a)cos(2a).

Таким образом, доказано исходное тождество sin(4a) + sin(2a)cos(2a)/cos(2a) = tg(2a).