1) Для нахождения производной функции (y = x\sqrt{x} \cdot x^{\frac{1}{2}}) используем правило производной произведения двух функций.
(y' = (\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}} + x\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})
(y' = (\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}})
(y' = (x + x) + \frac{1}{2}x^2 = 2x + \frac{1}{2}x^2)
Таким образом, производная функции (y = x\sqrt{x} \cdot x^{\frac{1}{2}}) равна (y' = 2x + \frac{1}{2}x^2).
Подставляя x = 1 получаем (y'(1) = 2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 2.5).

2) Для нахождения производной функции (y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}) воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.
(y' = \frac{(2x - 1)(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2})
(y' = \frac{(2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) - (2x^3 - 2x^2 + x^2 - x - 2x - 1)}{(x^2 + x + 1)^2})
(y' = \frac{x^2 + 2x - 1 - 2x^2 - 1}{(x^2 + x + 1)^2})
(y' = \frac{-x^2 + 2x - 2}{(x^2 + x + 1)^2})
Таким образом, производная функции (y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}) равна (y' = \frac{-x^2 + 2x - 2}{(x^2 + x + 1)^2}).