1) Для доказательства равенства углов Н и К воспользуемся координатами вершин треугольника. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{HM}=\begin{pmatrix}1\-5\end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{HK}=\begin{pmatrix}5\6\end{pmatrix}$. Найдем их скалярное произведение:

$\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{HK}=1\cdot5+(-5)\cdot6=5-30=-25$

Теперь найдем длины векторов:

$|\overrightarrow{HM}|=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$

$|\overrightarrow{HK}|=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$

Используем определение скалярного произведения: $\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{HK}=|\overrightarrow{HM}||\overrightarrow{HK}|\cos\angle NHK$

$-25=\sqrt{26}\sqrt{61}\cos\angle NHK$

$-25=\sqrt{26\cdot61}\cos\angle NHK$

$-25=\sqrt{1586}\cos\angle NHK$

$cos\angle NHK=-\frac{25}{\sqrt{1586}}$

Так как косинус отрицателен, значит углы Н и К равны.

2) Для нахождения периметра треугольника МНК найдем длины сторон:

$MN=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$

$NK=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

$KM=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P=MN+NK+KM=\sqrt{26}+2\sqrt{13}+\sqrt{26}=2\sqrt{26}+2\sqrt{13}$

3) Для нахождения высоты MD проведем высоту из вершины М, перпендикулярную стороне НK. Уравнение прямой, содержащей сторону НK, имеет вид:

$\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-(-4)}{2-(-4)}$

$\frac{x-1}{4}=\frac{y+4}{6}$

$6(x-1)=4(y+4)$

$6x-6=4y+16$

$6x-4y=22$

Уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной к стороне НК, имеет вид $y=x+1$. Наша задача найти точку пересечения этих прямых.

$6x-4(x+1)=22$

$6x-4x-4=22$

$2x=26$

$x=13$

$y=13+1=14$

Точка пересечения прямых имеет координаты (13;14). Теперь найдем длину высоты MD:

$MD=\sqrt{(13-0)^2+(14-1)^2}=\sqrt{169+169}=\sqrt{338}=2\sqrt{85}$

Таким образом, длина высоты MD равна $2\sqrt{85}$.