Пусть сторона основания четырехугольной призмы равна а, а её высота равна h. Тогда объём призмы можно найти по формуле: V = a^2 * h.

Вписав четырехугольную призму в конус, получим, что сторона призмы равна радиусу основания конуса, то есть a = R. Также, из подобия треугольников можно найти, что h = H/2.

Таким образом, V = R^2 (H/2) = R^2 H / 2.

Так как объем конуса V = (1/3) π R^2 H, то объем призмы будет максимальный, когда R^2 H / 2 будет равно (2/3) π R^2 * H.

Сокращаем R^2 и H, получаем, что:

R H / 2 = (2/3) R * H

R H / 2 = (2/3) H

R = 4/3.

Таким образом, для нахождения высоты правильной четырехугольной призмы наибольшего объема, вписанной в конус с высотой H, необходимо доказать, что сторона основания призмы должна быть равна 4/3 от высоты H конуса.