Для начала рассмотрим уравнение:

y''(x^2)=2xy'

Для его решения воспользуемся методом вариации произвольной постоянной. Представим решение в виде:

y(x) = u(x) * v(x)

y' = u'v + uv'

y'' = u''v + 2u'v' + uv''

Подставим это в уравнение:

u''v + 2u'v' + uv'' = 2x(u'v + uv')

u''v + 2u'v' + uv'' = 2xu'v + 2xuv'

Преобразуем уравнение:

u''v + uv'' = 2u'xv

Далее примем v=1, таким образом v'=0, и тогда:

u'' = 2u'x

Теперь решим уравнение u'' = 2u'x. Для начала найдем общее решение этого дифференциального уравнения:

Предположим, что u = e^(kx), тогда:

(k^2)e^(kx) = 2ke^(kx)

k^2 = 2k

k = 2

Таким образом, общее решение будет иметь вид:

u(x) = C1e^(2x) + C2x*e^(2x)

Теперь найдем частное решение, учитывая начальные условия y(0) = 1, y'(0) = 3:

y(0) = 1:

1 = C1

y'(0) = 3:

y'(x) = 2C1e^(2x) + (C22x + C2)*e^(2x)

3 = 2C1 + C2 => 3 = 2 + C2

C2 = 1

Итак, частное решение уравнения y''(x^2)=2xy' будет иметь вид:

y(x) = e^(2x) + (x+1)xe^(2x)