Для нахождения производной данной функции Y = sin$arccot(exp(x))$ используем цепное правило дифференцирования.

Для начала заметим, что arccot$exp(x)$ = arctan$1/exp(x)$ = arctan$exp(-x)$.

Теперь продифференцируем sin$arctan(exp(-x))$:

Y' = cos$arctan(exp(-x))$ $-1/(1+(exp(-x){)}^2)$ $-exp(-x)$ Y' = cos$arctan(exp(-x))$ * $exp(-x)/(1+exp(2x))$

Таким образом, производная функции Y равна:

Y' = cos$arctan(exp(-x))$ * $exp(-x)/(1+exp(2x))$

Или в более простой форме:

Y' = exp$-x$ * cos(arctan(exp(-x)) / (1 + exp(2x))

Это и есть производная данной функции.