Для начала приведем уравнение к более удобному виду, используя свойства логарифмов:

1 + log₂$x+1$ = log₂$7x+2$ - log₂$x-1$

1 + log₂$x+1$ = log₂$(7x+2)/(x-1)$

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

1 + log₂$x+1$ = log₂$(7x+2)/(x-1)$ 1 + log₂$x+1$ = log₂$7+9/(x-1)$

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

1 + log₂$x+1$ = log₂$2(x+1)$

Таким образом, уравнение примет вид:

log₂$2(x+1)$ = log₂$7+9/(x-1)$

Теперь выразим x из уравнения:

2$x+1$ = 7 + 9/$x-1$

2x + 2 = 7 + 9/$x-1$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

2x + 2 - 7 = 9/$x-1$

2x - 5 = 9/$x-1$

Умножим обе части уравнения на $x-1$, чтобы избавиться от дроби:

$x-1$$2x-5$ = 9
2x² - 5x - 2x + 5 = 9
2x² - 7x + 5 = 9
2x² - 7x - 4 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

D = $-7$² - 4 2 $-4$ = 49 + 32 = 81

x = $-(-7)\pm \surd 81$ / $2\ast 2$ x = $7\pm 9$ / 4

Два корня:

x₁ = $7+9$ / 4 = 4
x₂ = $7-9$ / 4 = -0.5

Проверим подстановкой оба корня в исходное уравнение:

При x = 4:

1 + log₂$4+1$ = log₂$7\ast 4+2$ - log₂$4-1$ 1 + log₂$5$ = log₂$30$ - log₂$3$ 1 + log₂$5$ = log₂$30/3$ 1 + log₂$5$ = log₂$10$ 1 + log₂$5$ = log₂$10$

При x = -0.5:

1 + log₂$-0.5+1$ = log₂$7\ast (-0.5)+2$ - log₂$-0.5-1$ 1 + log₂$0.5$ = log₂$-3.5$ - log₂$-1.5$ 1 + log₂$0.5$ = log₂$-3.5/-1.5$ 1 + log₂$0.5$ = log₂$\mathrm{2.3333...}$

Таким образом, корень x = 4 подходит для уравнения, а корень x = -0.5 не подходит, так как логарифм отрицательного числа не существует.