Для начала докажем первое тождество:

sin x + cos x / (1 + tg x) = cos x

Преобразуем левую часть выражения:

sin x + cos x / (1 + tg x) = sin x + cos x / (1 + sin x / cos x) = sin x + cos x / ((cos x + sin x)/ cos x) = sin x + cos x (cos x / (cos x + sin x)) = sin x + cos^2 x / (cos x + sin x) = cos x (1 + cos x) / (cos x + sin x) = cos x

Теперь докажем второе тождество:

(ctg x - 1) / (sin x - cos x) = -sin x

Преобразуем левую часть выражения:

(ctg x - 1) / (sin x - cos x) = (1 / tg x - 1) / (sin x - cos x) = (cos x / sin x - 1) / (sin x - cos x) = (cos x - sin x) / sin x = cos x / sin x - 1 = ctg x - 1 = -sin x

Таким образом, оба тождества были доказаны.