Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться принципом математической индукции.

База индукции:
Пусть a1 = a2 = ... = a12 = 1. Тогда a^21 + a^22 + ... + a^212 = 1 + 1 + ... + 1 = 12, что делится на 12.

Предположение индукции:
Пусть для любых a1, a2, ..., ak выполняется равенство a^21 + a^22 + ... + a^2k делится на 12.

Шаг индукции:
Рассмотрим выражение a^21 + a^22 + ... + a^212 + a^213. Мы знаем, что a^21 + a^22 + ... + a^212 делится на 12 по предположению индукции. Тогда нам нужно доказать, что a^213 также делится на 12.

Мы можем представить это выражение как (a^21 + a^22 + ... + a^212) + a^213. Поскольку первая часть делится на 12, остается доказать, что a^213 также делится на 12.

Рассмотрим a в различных возможных остатках при делении на 12: 0, 1, 2, ..., 11. Для каждого из этих остатков возведем число во вторую степень и найдем остаток от деления на 12. Мы увидим, что результаты будут равны 0, 1, 4, 9, 4, 1, 0, 9, 0, 1, 4, 9. Таким образом, во всех случаях a^2 дает остаток 0, 1 или 9 при делении на 12.

Следовательно, a^213 будет иметь остаток 0, 1 или 9 при делении на 12. Это значит, что a^213 также делится на 12.

Таким образом, мы доказали, что значения выражений a^21, a^22, ..., a^212 делятся на 12 при любых значениях a1, a2, ..., a12.