Для решения этой задачи нам понадобится знать, что средней линией прямоугольной трапеции является отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон трапеции. Также, мы знаем, что угол между этой средней линией и основанием трапеции равен 30 градусам.

Так как точка М находится на равном расстоянии от сторон трапеции, то линия, соединяющая точку М с серединой средней линии будет перпендикулярна к сторонам трапеции. Пусть точка пересечения этой линии с основанием трапеции обозначается как N.

Так как MN является средней линией треугольника MNK, где K - середина основания трапеции, треугольник MNK является прямым, также известно, что угол MKN = 90 градусов. Так как угол MKN равен 90 градусов, а угол MKN равен 30 градусов, угол MNK равен 60 градусов.

Так как MN равна 6 см, то длина каждого катета в треугольнике MNK равна 3 см. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения квадрата расстояния от точки М до стороны трапеции:

$3^2+4^2$ = МN^2
$9+16$ = МN^2
25 = МN^2

Следовательно, квадрат расстояния от точки М до стороны трапеции равен 25 квадратным сантиметрам.