Для нахождения значения производной функции в точке $x_0=\frac{\pi }{4}$ нужно вычислить производную функции $F(x)=x-2\cos x+3\tan x$ и подставить $x_0=\frac{\pi }{4}$.

$$F^{\prime }(x)=1+2\sin x+3{\sec }^{2}x$$

Теперь подставляем $x_0=\frac{\pi }{4}$ для нахождения значения производной функции в этой точке:

$$F^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+2\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)+3{\sec }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)$$ $$=1+2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot \frac{1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)}$$ $$=1+\sqrt{2}+3\cdot \frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$$ $$=1+\sqrt{2}+2\cdot \frac{1}{2}$$ $$=1+\sqrt{2}+1$$ $$=\sqrt{2}+2$$

Таким образом, значение производной функции в точке $x_0=\frac{\pi }{4}$ равно $\sqrt{2}+2$.