Для нахождения косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, нам необходимо знать длину ребра куба.

По свойствам куба, мы можем найти длину его ребра, зная, что диагональ куба равна 10 см.

По теореме Пифагора для куба, диагональ равна корню из суммы квадратов ребер:
(d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.)

Так как диагональ равна 10 см, то (a\sqrt{3} = 10 \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}.)

Теперь найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, используя формулу для косинуса угла между векторами:

[\cos \theta = \frac{d}{a} = \frac{10}{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}.]

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен (\sqrt{3}).