Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:
(a^2 + b^2 = c^2),
где a и b - катеты, c - гипотенуза.

По условию задачи, высота треугольника делит гипотенузу на два отрезка 9 см и 16 см. Обозначим меньший катет как (a). Тогда гипотенуза (c = 9 + 16 = 25).

По теореме Пифагора:
[a^2 + b^2 = 25^2]
[a^2 + b^2 = 625]

Так как высота треугольника - это отрезок биссектрисы, то площадь прямоугольного треугольника можно представить как сумму площадей двух прямоугольных треугольников с катетами 9 и (a), 16 и (b):
(\frac{1}{2} \cdot 9a + \frac{1}{2} \cdot 16b = \frac{1}{2} \cdot ab)

Отсюда получаем уравнение:
(9a + 16b = ab)
(ab - 9a - 16b = 0)
(ab - 9a - 16b + 144 = 144)
((a - 16)(b - 9) = 144)

Теперь подставим полученное уравнение в уравнение теоремы Пифагора:
((a - 16)^2 + (b - 9)^2 = 625),
раскрываем скобки:
(a^2 - 32a + 256 + b^2 - 18b + 81 = 625),
(a^2 + b^2 - 32a - 18b - 288 = 0)

Теперь решим систему уравнений:
[
\begin{cases}
a^2 + b^2 = 625,\
a^2 + b^2 - 32a - 18b - 288 = 0
\end{cases}
]

Решив данную систему уравнений, найдём значения катетов.