Для вычисления данного предела применим правило Лопиталя:

lim(x->∞) ln(1+e^x)/(e^(e^x)-x)

Производная верхней функции:
(ln(1+e^x))' = (1/(1+e^x))(e^x)
Производная нижней функции:
(e^(e^x)-x)' = e^x(e^(e^x)) - 1 = e^x * e^(e^x) - 1 = e^(x+e^x) - 1

Теперь применим правило Лопиталя еще раз:

lim(x->∞) (1/(1+e^x))*(e^x) / (e^(x+e^x) - 1)
lim(x->∞) e^x / (e^(x+e^x) - 1)
lim(x->∞) 1 / e^e^x

Так как x стремится к бесконечности, то e^x также стремится к бесконечности, а затем e^e^x стремится к бесконечности, и предел равен 0.

Итак, lim(x->∞) ln(1+e^x)/(e^(e^x)-x) = 0.