Для нахождения производной функции ( \frac{x^3}{\cos^2{x}} ) воспользуемся правилом дифференцирования частного.
Имеем функцию ( y = x^3 ) и ( z = \cos^2{x} ), тогда исходная функция может быть представлена как ( y \cdot \frac{1}{z} ).
Найдем производные ( y' ) и ( z' ):
( y' = 3x^2 ) - производная функции ( x^3 );
( z' = -2\cos{x}\sin{x} ) - производная функции ( \cos^2{x} ).
Теперь по правилу дифференцирования частного производной функции ( \frac{u}{v} ) при наличии производных ( u' ) и ( v' ) равна
( \frac{u'v - uv'}{v^2} ), подставим результаты:
[\frac{(3x^2)(\cos^2{x}) - (x^3)(-2\cos{x}\sin{x})}{(\cos^2{x})^2} = \frac{3x^2\cos^2{x} + 2x^3\cos{x}\sin{x}}{\cos^4{x}}]
Таким образом, производная функции ( \frac{x^3}{\cos^2{x}} ) равна ( \frac{3x^2\cos^2{x} + 2x^3\cos{x}\sin{x}}{\cos^4{x}} ).
Для нахождения производной функции ( \frac{x^3}{\cos^2{x}} ) воспользуемся правилом дифференцирования частного.
Имеем функцию ( y = x^3 ) и ( z = \cos^2{x} ), тогда исходная функция может быть представлена как ( y \cdot \frac{1}{z} ).
Найдем производные ( y' ) и ( z' ):
( y' = 3x^2 ) - производная функции ( x^3 );
( z' = -2\cos{x}\sin{x} ) - производная функции ( \cos^2{x} ).
Теперь по правилу дифференцирования частного производной функции ( \frac{u}{v} ) при наличии производных ( u' ) и ( v' ) равна
( \frac{u'v - uv'}{v^2} ), подставим результаты:
[
\frac{(3x^2)(\cos^2{x}) - (x^3)(-2\cos{x}\sin{x})}{(\cos^2{x})^2} = \frac{3x^2\cos^2{x} + 2x^3\cos{x}\sin{x}}{\cos^4{x}}
]
Таким образом, производная функции ( \frac{x^3}{\cos^2{x}} ) равна ( \frac{3x^2\cos^2{x} + 2x^3\cos{x}\sin{x}}{\cos^4{x}} ).