Для решения уравнения (14x^2 - 5x - 1 = 0) через дискриминант, сначала нужно найти дискриминант по формуле:

[D = b^2 - 4ac]

где a = 14, b = -5, c = -1. Подставляем значения:

[D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1)]
[D = 25 + 56]
[D = 81]

После нахождения дискриминанта, можно определить количество и значения корней уравнения. Если (D > 0), то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если (D = 0), то уравнение имеет один вещественный корень. Если (D < 0), то уравнение имеет два комплексных корня.

В данном случае (D = 81), значит уравнение имеет два вещественных корня. Далее можно найти корни уравнения через формулу:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]

Подставляем значения и находим корни:

[x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{28} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = 0.5]

[x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{28} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -0.142857]

Итак, корни уравнения (14x^2 - 5x - 1 = 0) равны 0.5 и -0.142857.