Для нахождения производной данной функции, необходимо использовать правила дифференцирования функций тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

y = 8tg(2 + 5x^3) - 5sin^2(7 - 8x)

Выпишем производную первого слагаемого:

dy/dx = 8 d(tg(2+5x^3))/dx - 5 d(sin^2(7-8x))/dx

Используем правила дифференцирования:

Производная тангенса: d(tg(u))/dx = du/dx * (1 + tg^2(u))Производная синуса: d(sin(u))/dx = du/dx * cos(u)

Вычислим первую производную:

dy/dx = 8 d(tg(2+5x^3))/dx - 5 d(sin^2(7-8x))/dx

dy/dx = 8 [d(2+5x^3)/dx (1 + tg^2(2+5x^3))] - 5 [d(sin(7-8x))/dx cos(7-8x)]

dy/dx = 8 [15x^2 (1 + tg^2(2+5x^3))] - 5 [(-8) cos(7-8x) * cos(7-8x)]

dy/dx = 120x^2 (1 + tg^2(2+5x^3)) + 40 cos^2(7-8x)

Таким образом, производная функции y = 8tg(2+5x^3) - 5sin^2(7-8x) равна:

dy/dx = 120x^2 (1 + tg^2(2+5x^3)) + 40 cos^2(7-8x)