Коротко: оба доказательства являются чисто аффинными (не используют углы или длины) и дают точку с векторной формулой $g=\frac{a+b+c}{3}$. Условия корректности: треугольник ненулевой (точки не коллинеарны, иначе «медианы» совпадают) и поле координат допускает деление на $2$ и $3$ (в частности над $\mathbb{R}$ корректно).
1) Векторный метод (прямое вычисление)
- Задаём векторные радиусы вершин: $a,b,c$.
- Средняя точка стороны $BC$: $m_{BC}=\frac{b+c}{2}$.
- Медиана из $A$ — множество точек $x=a+t(m_{BC}-a)$.
Аналогично медиана из $B$: $y=b+s(\frac{a+c}{2}-b)$.
- Пересечение двух медиан решает систему по параметрам; проще заметить, что точка
$$g=\frac{a+b+c}{3}$$ лежит на каждой медиане, потому что для медианы из $A$ $$g-a=\frac{b+c-2a}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{b+c-2a}{2}=\frac{2}{3}(m_{BC}-a),$$ то есть $g=a+\frac{2}{3}(m_{BC}-a)$. Следовательно $g$ делит медиану $A{M}_{BC}$ в отношении $AG:G{M}_{BC}=2:1$.
- Поскольку две медианы пересекаются в $g$, третья тоже проходит через ту же точку по симметрии формулы (или проверкой аналогично). Это единственное пересечение при ненулевом треугольнике.
Тонкости: требуется деление на $2$ и $3$ в используемом поле; если точки коллинеарны, медианы не дают единой точки пересечения.
2) Метод барицентров (барицентрические координаты)
- В барицентрических координатах любая точка задаётся тройкой $(\alpha :\beta :\gamma )$ пропорционально весам при вершинах $A,B,C$. Для аффинных координат нормируем $\alpha +\beta +\gamma =1$ и тогда точка имеет позицию $x=\alpha a+\beta b+\gamma c$.
- Центроид (барицентр с равными весами) задаётся $\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$, т.е.
$$g=\frac{a+b+c}{3}.$$ - Медиана из $A$ соединяет $A=(1,0,0)$ и середину $M_{BC}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Поскольку
$$g=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c=\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}(\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c)=\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}{m}_{BC},$$ видно, что $g$ лежит на этой медиане и делит её в отношении $2:1$ от вершины к середине.
- Аналогично для других медиан по симметрии.
Тонкости и условия:
- Работаем в аффинном пространстве над полем, где можно делить на $2$ и $3$ (иначе выражения $\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ бессмысленны). В характеристике $2$ или $3$ понадобятся корректировки или другое определение.
- Не требуется евклидова метрика — достаточно аффинной структуры. Для выдвижения соотношений деления от вершины к середине нужно, чтобы медианы были непараллельны (т.е. треугольник не вырожден).
- В вырожденном (коллинеарном) случае «медианы» совпадают и пересечение не является единственной внутренней точкой, поэтому обычное утверждение о единственном центре и отношении $2:1$ требует невырожденности.
Вывод (коротко): обе модели дают одну и ту же формулу $g=(a+b+c)/3$ и соотношение деления $AG:GM=2:1$; доказательства корректны в аффинной плоскости над полем с делением на $2$ и $3$ и при условии, что треугольник не вырожден.