Кратко — с оценками, условиями и практическим правилом адаптивного разбиения.
Ошибки (композитные правила на сетке с шагом $h=(b-a)/n$, $n$ — число подинтервалов):
- Метод трапеций (требуется $f\in C^2[a,b]$):
$$E_T={\int }_a^{b}f(x)dx-T_n=-\frac{(b-a)}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\xi )\text{для некоторого}\xi \in (a,b),$$ т.е. порядок точности $O(h^2)$.
- Метод Симпсона (требуется $f\in C^4[a,b]$, $n$ — чётно):
$$E_S={\int }_a^{b}f(x)dx-S_n=-\frac{(b-a)}{180}{h}^4{f}^{(4)}(\eta )\text{для некоторого}\eta \in (a,b),$$ т.е. порядок точности $O(h^4)$.
Сравнение и когда что предпочтительнее:
- При достаточной гладкости ($f^{(4)}$ ограничена) Симпсон даёт значительно меньшую ошибку при том же $h$ (скорость сходимости выше). При одинаковом числе подинтервалов Simpson обычно эффективнее.
- Если $f$ имеет только $C^2$ гладкость (или $f^{(4)}$ сильно растёт / разрывна), оценка Симпсона может быть неверной — тогда трапеций надежнее.
- Для аналитических периодических функций композитный метод трапеций может конвергировать экспоненциально (гораздо лучше, чем полиномиальные оценки) — в таких задачах трапеций часто предпочтителен.
- При особенностях в концах отрезка (сингулярности) лучше использовать преобразования переменной или специальные правила (Gauss–Kronrod, tanh–sinh). Простые правила (особенно Симпсона) могут давать плохие результаты.
- Стоимость: оба метода используют примерно $n+1$ значений на $n$ подинтервалов; Симпсон требует чётного $n$ и немного сложнее, но чаще даёт меньшую ошибку при тех же вычислениях.
Адаптивное разбиение (правило и практическая оценка погрешности):
- Идея: локально сравнить интегральную аппроксимацию на отрезке $[a,b]$ и на двух половинах $[a,m]$, $[m,b]$, где $m=(a+b)/2$.
- Для трапеций (порядок $p=2$) оценка локальной ошибки:
$$E_{\text{loc}}\approx \frac{T(h/2)-T(h)}{2^p-1}=\frac{T(h/2)-T(h)}{3}.$$ - Для Симпсона (порядок $p=4$) оценка локальной ошибки:
$$E_{\text{loc}}\approx \frac{S(h/2)-S(h)}{2^p-1}=\frac{S(h/2)-S(h)}{15}.$$ - Рекурсивное правило (адаптивный Симпсон — стандарт):
1. Вычислить $S(a,b)$, затем $S(a,m)$ и $S(m,b)$.
2. Оценить $E_{\text{loc}}\approx (S(a,m)+S(m,b)-S(a,b))/15$.
3. Если $|E_{\text{loc}}|\le$ заданной локальной точности (например $\epsilon \cdot (b-a)/(b-a_{\text{total}})$ или просто $\epsilon$), принять сумму $S(a,m)+S(m,b)+E_{\text{loc}}$.
4. Иначе рекурсивно применить процедуру к $[a,m]$ и $[m,b]$.
5. Ограничить глубину рекурсии и повторно использовать заранее вычисленные значения $f$ в узлах, чтобы не дублировать вычисления.
- Для трапеций аналогичная схема с фактором $3$ вместо $15$.
Практические советы и оговорки:
- Используйте оценку с Ричардсоном (формулы выше) для контроля погрешности.
- Всегда задавайте максимум рекурсивной глубины и контроль числа функций-вычислений.
- При сильной осцилляции или сингулярностях используйте специализированные методы (Филон, преобразования, Gauss–Kronrod, tanh–sinh).
- Для периодических аналитических функций сначала попробуйте композитный трапеций — он может выигрывать и по точности, и по простоте.
Этого достаточно для выбора метода и реализации адаптивного правила: если $f\in C^4$ — адаптивный Симпсон обычно лучший выбор; если только $C^2$ или функция периодична/особенная — рассмотрите трапеций или специализированные методы.