Для нахождения производных dz/dx и dz/dy необходимо продифференцировать данное уравнение по переменным x и y.

Имеем уравнение: (z+x)lny - (x^2)ln((z^2)y) - 2 = 0

Дифференцируем это уравнение по x:
d/dx((z+x)lny) - d/dx((x^2)ln((z^2)y)) - d/dx(2) = 0
dz/dx lny + (z+x)(1/y) - (2x)yz^2/y - 0 = 0
dz/dx lny + z/x + z - 2xz = 0
dz/dx = 2xz - z - z/xlny

Дифференцируем это уравнение по y:
d/dy((z+x)lny) - d/dy((x^2)ln((z^2)y)) - d/dy(2) = 0
dz/dy lny + (z+x)(1/y) - (x^2) ((z^2)/y) (1/y) - 0 = 0
dz/dy lny + (z+x)/y - x^2 z^2 / y^2 = 0
dz/dy = -((z+x)/y) + x^2 * z^2 / y^2lny

Таким образом, производные равны:
dz/dx = 2xz - z - z/xlny
dz/dy = -((z+x)/y) + x^2 * z^2 / y^2lny