Кратко — когда достаточно, а когда надо дополнительно анализировать.
1) Наличие экстремумов.
- По теореме о значениях непрерывной функции на компактном множестве: если множество $S\subset {\mathbb{R}}^2$ замкнуто и ограничено (компактно), то непрерывная функция $f(x,y)=x^2+y^2$ достигает на $S$ минимума и максимума. Если $S$ неограничено, максимума может не быть.
2) Внутренние критические точки.
- Внутри $S$ экстремумы возможны только в критических точках, где $\nabla f=0$. Для $f$ имеем $\nabla f=(2x,2y)$, т.е. единственная внутренняя критическая точка — $(0,0)$. Если $(0,0)\in S$, это кандидат на минимум; если нет — внутренних кандидатов нет.
3) Граница, задаваемая гладким нелинейным условием.
- Пусть граница задана одним гладким уравнением $g(x,y)=0$ при $g$ гладкой и $\nabla g\ne 0$ на границе (регулярная граница). Тогда достаточно рассмотреть:
a) решения системы Лагранжа $\nabla f=\lambda \nabla g,g=0$ (все точки, где граничный критерий необходим).
b) при желании — параметризацию границы $x=x(t),y=y(t)$ и редукцию к одномерной задаче $h(t)=f(x(t),y(t))$.
- После нахождения всех кандидатов (внутренних и на границе) нужно вычислить значения $f$ и выбрать экстремумы.
4) Когда требуется дополнительный анализ (помимо проверки внутренних точек и стандартного Лагранжа).
- Негладкая граница (углы, разрывы касательной): нужно отдельно проверить все некгладкие точки (вершины, острые углы).
- Деградация условия: если на некоторой точке границы $\nabla g=0$ (условие не выполняет требование регулярности), то лагранжевые условия могут не покрывать все кандидаты — необходимо локально параметризовать окрестность или исследовать высшие порядки (разложение/сравнение по направлению).
- Несколько активных ограничений: при системе $g_i(x,y)\le 0$ активные одновременно ограничения дают систему Лагранжа с несколькими множителями; если градиенты активных ограничений линейно зависимы, стандартная квалификация (LICQ) не выполняется → нужны отдельные проверки.
- Небольшие/особые случаи: когда Лагранж дает стационарные точки, но классификация требует второго порядка (для проверки максимум/минимум) — использовать матрицу Гессиана лагранжиана на допустимом подпространстве или просто сравнить значения $f$ в кандидатах.
- Неограниченность множества: проверять поведение $f$ на бесконечности (для $f=x^2+y^2$ рост квадратичный, значит максимум отсутствует на неограниченном $S$).
5) Специфика для $f(x,y)=x^2+y^2$.
- Минимум — ближайшая к началу координат точка множества $S$. Если $(0,0)\in S$, то это глобальный минимум. Иначе нужно минимизировать расстояние до начала: решение либо из Лагранжа на границе, либо из проверки углов/особых точек.
- Максимум — самая удалённая от начала точка. Существует только если $S$ ограничено; тогда максимум всегда на границе (функция выпуклая и радиально растёт).
Итого: если $S$ компактен и граница гладкая с $\nabla g\ne 0$ (и при нескольких ограничениях — выполняется LICQ), то достаточно проверить внутренние критические точки и решения Лагранжа (плюс вершины/особые точки). В остальных, выщеописанных вырожденных или неограниченных случаях требуется дополнительный локальный анализ, проверка некгладких точек и поведение на бесконечности.