Краткое доказательство (координатно/векторное). Пусть вершины треугольника имеют радиус‑векторы $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Средняя точка стороны $BC$ равна ${\mathbf{m}}_{BC}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$. Медиана из $A$ задаётся точками
$\mathbf{a}+t(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}-\mathbf{a})=\mathbf{a}+t\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}}{2}\right)$.
Аналогично, медиана из $B$ — это
$\mathbf{b}+s\left(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}-2\mathbf{b}}{2}\right)$.
Решая уравнение пересечения двух медиан,
$$\mathbf{a}+t\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}}{2}=\mathbf{b}+s\frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}-2\mathbf{b}}{2},$$ получаем решение $t=\frac{2}{3}$, $s=\frac{2}{3}$ и точку пересечения
$$\mathbf{G}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}.$$ Отсюда для медианы из $A$ точка $G$ делит её в отношении
$$\frac{AG}{GM}=\frac{t}{1-t}=\frac{2/3}{1/3}=2,$$ т.е. отношение $2:1$ (от вершины к основанию). Аналогично для других медиан — они имеют ту же точку пересечения $\mathbf{G}$.
Прошу детально проанализировать, какие аксиомы евклидовой геометрии используются и какие обобщения возможны в неевклидовых геометриях:
- какие аксиомы (или структуры: афинная, метрическая, конгруэнтность, существование середины отрезка и т.д.) необходимы для построения и доказательства;
- нужны ли параллельность или свойства прямых Евклида, либо достаточно афинной структуры/координат над полем;
- при каких алгебраических условиях на поле координат (характеристика поля) теорема остаётся верной;
- что изменится в геометриях на сфере и в гиперболической плоскости (поведение геодезических‑медиан, понятие центра тяжести vs. Фреше‑среднего и т.п.).