Кратко: понятие UFD (основная теорема о факторизации: всякий ненулевой необратимый элемент представим в виде произведения неприводимых, и такое представление единственно с точностью до перестановки и ассоциатов) требует, чтобы кольцо было целостным делом (integral domain). Для кольца вычетов это даёт простой критерий.
Условия:
- Кольцо $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ является целостным делом тогда и только тогда, когда $m$ простое. То есть
$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\text{— целостное}⟺m=p\text{(простое)}.$$ - Следовательно классическое свойство уникальной факторизации (UFD) для $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ выполняется только в тривиальном смысле при $m=p$: тогда $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ — поле, все ненулевые элементы обратимы, смысл факторизации элементарен (поле — UFD). Для составного $m$ кольцо имеет делители нуля и уже не является доменом, поэтому стандартное определение UFD неприменимо и свойство единственности обычно нарушается.
Комментарии и примеры:
- Для $m=p^k$ при $k>1$ (и вообще для составного $m$) в $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ есть делители нуля и (в случае степеней простого — нильпотенты), поэтому элементарная теорема о факторизации для элементов не выполняется в общем виде.
- По китайской теореме об остатках
$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\cong \prod _i\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z},$$ и уже в произведении колец (даже если все сомножители — поля) факторизация по элементам не сохраняет свойства UFD.
Классические примеры неединственности (в интегральных кольцах — чтобы пример был «чистым»):
- В кольце целых чисел квадратичной формы $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ имеем
$$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),$$ и числа $2,3,1\pm \sqrt{-5}$ неприводимы, а не совпадают по ассоциированности — значит разложение на неприводимые не единственно.
- В кольцах с делителями нуля (например $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ и т. п.) поведение ещё более «непредсказуемо»: стандартные определения неприводимого/ассоциата дают странные факты (из‑за делителей нуля элемент может представляться как $a=a\cdot b$ с ненулевым неединичным $b$), поэтому говорить об «основной теореме» в привычном виде некорректно.
Итого: для $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ основная теорема о факторизации (в смысле UFD) holds only when $m$ is prime (then you get a field). For composite $m$ the ring is not a domain and unique factorization (in the usual sense) fails; concrete nonuniqueness examples are easiest to exhibit in non-UFD integral domains (e.g. $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$), while in modular rings one must be careful with definitions because of zero divisors.