Уравнение
$$y^{\prime }=\sqrt{|y|},y(0)=0$$ имеет правую часть $f(y)=\sqrt{|y|}$ — непрерывную, но не локально Липшицеву в окрестности $y=0$ (производная $f^{\prime }(y)$ ведёт себя как $\frac{1}{2\sqrt{|y|}}\to \infty$ при $y\to 0$). Отсюда по теореме Пеано гарантирется существование решений, но теорема о единственности, требующая локальной Липшицевости, не применима — возможна неединственность.
Явное интегрирование для $y\ge 0$:
$$\frac{dy}{\sqrt{y}}=dt\Rightarrow 2\sqrt{y}=t+C\Rightarrow y=(\frac{t+C}{2}{)}^2.$$ Из начального условия $y(t_0)=0$ получаем $C=-t_0$, значит для любого сдвига $t_0$ решение, которое становится положительным после $t_0$, имеет вид
$$y(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le t_0,\\ (\frac{t-t_0}{2}{)}^2,& t\ge t_0.\end{array}$$ При $t_0=0$ это даёт ненулевое решение, касающееся нуля в момент $0$. Кроме того, тривиальное решение $y(t)\equiv 0$ тоже удовлетворяет начальному условию. Следовательно, для $y(0)=0$ существует бесконечно много решений: нулевая и семейство решений, остающихся нулём до некоторого времени $t_0\ge 0$, а затем растущих по закону $(\frac{t-t_0}{2}{)}^2$. В точке стыка решение гладко сопрягается: правая производная в $t_0$ равна $0$, что согласуется с правой частью уравнения.
Замечания о влиянии отсутствия Липшица:
- Отсутствие локальной Липшица при $y=0$ позволяет «запаздывание» старта роста: решение может оставаться нулём сколь угодно долго и затем начать повышаться — это и даёт множественность решений.
- На областях, где $y\ge \delta >0$, функция $f$ локально Липшицева, поэтому единственность восстановлена там (после выхода из нуля решение однозначно продолжится).
- Общая причина: для правых частей порядка $|y{|}^{\alpha }$ с $0<\alpha <1$ типично нарушение единственности; для $\alpha \ge 1$ (в частности при Липшица) единственность сохраняется.
Вывод: существуют решения (по Пеано), но единственность нарушена из‑за нелипшицевости в $y=0$; конкретно, помимо нулевого решения, есть семейство решений, начинающих расти в произвольный момент $t_0\ge 0$ по закону $(\frac{t-t_0}{2}{)}^2$.