Ошибка в логике: из того, что для каждого $n$ числа $n$ и $n+1$ взаимно просты, нельзя заключать, что «у любого числа не более одной простой, делящей его». Связь «пара чисел не имеет общих простых делителей» не накладывает ограничение на число различных простых делителей одного числа.
Корректное доказательство факта о соседних числах:
Пусть простое $p$ делит и $n$, и $n+1$. Тогда $p$ делит разность $(n+1)-n=1$, что невозможно. Значит никакое простое не делит одновременно $n$ и $n+1$, поэтому
$\gcd (n,n+1)=1$.
Контрпример к ошибочному выводу: число $6$ имеет два простых делителя $2$ и $3$, то есть утверждение «у любого числа не более одного простого делителя» ложно:
$6=2\cdot 3$.
Правильная формулировка, вытекающая из исходного наблюдения:
«У двух последовательных натуральных чисел нет общих простых делителей», или эквивалентно $\gcd (n,n+1)=1$ для всех $n$.