Для исследования функции ( \frac{1 - \cos{x}}{1 + \cos{x}} ) на четность и нечетность, нам нужно проверить выполнение двух свойств:

Функция ( f(x) ) четная, если ( f(x) = f(-x) ) для любого ( x ) из области определения функции.Функция ( f(x) ) нечетная, если ( f(x) = -f(-x) ) для любого ( x ) из области определения функции.

Для начала, давайте выразим данную функцию в виде суммы двух функций:

[ \frac{1 - \cos{x}}{1 + \cos{x}} = \frac{(1 - \cos{x})^2}{(1 + \cos{x})(1 - \cos{x})} = \frac{1 - 2\cos{x} + \cos^2{x}}{1 - \cos^2{x}} = \frac{\sin^2{x}}{\sin^2{x}} = 1 ]

Таким образом, мы получили, что данная функция равна константе 1, и, следовательно, она является четной и одновременно нечетной.

Поэтому, функция ( \frac{1 - \cos{x}}{1 + \cos{x}} ) является как четной, так и нечетной.