Для решения данного уравнения сначала можно сделать замену: ( y = \sin 2x ).

Тогда уравнение примет вид: ( 3y^2 + 10y + 3 = 0 ).

Далее найдем корни этого уравнения. Для этого можно воспользоваться дискриминантом:

[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 ].

Так как дискриминант положительный, то у уравнения есть два корня:

[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{64}}{6} = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3} ].

[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{64}}{6} = \frac{-10 - 8}{6} = -3 ].

Теперь вернемся к исходному уравнению, заменим ( y ) обратно на ( \sin 2x ) и решим полученные уравнения для ( x ):

[ \sin 2x = -\frac{1}{3} ]
[ 2x = \arcsin \left(-\frac{1}{3} \right) ]
[ 2x = -0.34 + 2\pi n \text{ или } 2x = -3.80 + 2\pi n ]

[ \sin 2x = -3 ]
[ \text{Решений нет, так как } -1 \leq \sin x \leq 1 ]

Итак, уравнение ( 3\sin^2 2x + 10\sin 2x + 3 = 0 ) имеет решения:

[ x = \frac{-0.34 + 2\pi n}{2} \text{ или } x = \frac{-3.80 + 2\pi n}{2} ], где ( n ) - целое число.