База индукции (n=1):
1² = 1, искомая сумма равна 1, утверждение верно.

Предположение индукции:
Пусть для некоторого k верно, что 1+3+5+...+(2k-1) = k².

Индукционный переход:
Докажем, что 1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)².

Рассмотрим левую часть:
1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (1+3+5+...+(2k-1)) + 2(k+1) - 1
= k² + 2k + 2 - 1
= k² + 2k + 1
= (k+1)².

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1. Из базы индукции и предположения мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.