Дано:

Радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды - r = 2
Угол между боковой гранью и плоскостью основания - α = 30°

Обозначим сторону правильных треугольников, образующих боковые грани пирамиды, как a.
Тогда высота правильной треугольной пирамиды равна h = a * sqrt(3) / 2.

Обратим внимание, что боковая грань пирамиды является правильным треугольником со стороной a и высотой h.

Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30°, используем связь между радиусом описанной окружности правильного треугольника и стороной a по формуле:

r = a / (2 sin(30°)) = a / (2 0.5) = a

Мы получили, что сторона правильного треугольника, образующего боковую грань пирамиды, равна r.

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле:

V = (1/3) S_osn h,

где S_osn - площадь основания пирамиды.

Площадь основания правильной пирамиды равна S_osn = π * r^2.

Таким образом, объем пирамиды равен:

V = (1/3) π r^2 h = (1/3) π r^2 (r sqrt(3) / 2) = π r^3 * sqrt(3) / 6.

Подставляем значение радиуса r = 2 в формулу и получаем:

V = π 2^3 sqrt(3) / 6 = 8 sqrt(3) π / 6 = 4 sqrt(3) π / 3.

Ответ: объем пирамиды равен 4 sqrt(3) π / 3.