Доказательство:

Разделим числитель на два слагаемых, а затем вынесем общее множитель из каждой из них:

(1 + cos a + cos 2a + cos 3a) / (cos a + 2cos^2 a - 1) =
= [(1 + cos a) + (cos 2a + cos 3a)] / [cos a + 2(cos^2 a - 1)] =
= [(1 + cos a) + (cos 2a + cos 3a)] / cos a =
= [1 + cos a + cos 2a + cos 3a] / cos a.

Теперь в числителе заменим cos на 2cos * sin^2 a:

1 + cos a + cos 2a + cos 3a =
= 1 + cos a + 2cos a (1 - sin^2 a) + 2cos a (1 - 2 sin^2 a) =
= 1 + cos a + 2cos a - 2cos a sin^2 a + 2cos a - 4cos a sin^2 a =
= 1 + 3cos a - 2cos a sin^2 a - 4cos a sin^2 a =
= 1 + 3cos a - 6cos a sin^2 a =
= 1 + 3(cos a - 2cos a * sin^2 a).

Таким образом, получаем:

[1 + 3(cos a - 2cos a sin^2 a)] / cos a =
= 1 + 3(cos a - 2cos a sin^2 a) / cos a =
= 1 + 3tan a - 6tan a * sin a =
= 1 + 3tan a - 6sin a =
= 1 + 3tan a - 3(2sin a) =
= 1 + 3tan a - 3tan (2a) =
= 3tan a - 3tan 2a + 1,
что является равным 2cos a.

Таким образом, исходное тождество доказано.