Обозначим через ( a ) первый член арифметической прогрессии, а через ( d ) её разность.

Тогда 3-й член равен ( a + 2d ), 7-й равен ( a + 6d ), а 8-й равен ( a + 7d ).

Из условия задачи получаем систему уравнений:

[
\begin{cases}
a + 2d + a + 6d = 30, \
a + 7d = 4(a + 2d).
\end{cases}
]

Решаем систему:

[
\begin{cases}
2a + 8d = 30, \
a + 7d = 4a + 8d, \
\end{cases}
]

Из второго уравнения находим, что ( 3a = d ) или ( d = 3a ).

Подставляем это значение в первое уравнение:

[
2a + 8 \cdot 3a = 30,
]

[
2a + 24a = 30,
]

[
26a = 30,
]

[
a = \frac{30}{26} = \frac{15}{13}.
]

Теперь найдем разность ( d ):

[
d = 3a = 3 \cdot \frac{15}{13} = \frac{45}{13}.
]

Теперь находим 6-й член прогрессии:

[
a_6 = a + 5d = \frac{15}{13} + 5 \cdot \frac{45}{13} = \frac{15}{13} + \frac{225}{13} = \frac{240}{13} \approx 18.46.
]

Таким образом, 6-й член арифметической прогрессии равен примерно 18.46.