Для решения данной задачи нам необходимо найти первый элемент (a) и разность (d) арифметической прогрессии.

Используем формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
a_n = a + (n-1)*d

Подставляем известные значения:
a_4 = a + 3d = 9
a_9 = a + 8d = -6

Теперь составляем уравнение, используя данные уравнения:
a + 3d = 9
a + 8d = -6

Вычитаем первое уравнение из второго:
5d = -15
d = -3

Подставляем найденное значение разности обратно в любое уравнение:
a + 3*(-3) = 9
a - 9 = 9
a = 18

Теперь можем найти количество членов (n) в прогрессии, используя формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:
S_n = n/2*(2a + (n-1)d)

Подставляем известные значения и ищем n:
54 = n/2(218 + (n-1)(-3))
54 = n/2(36 - 3n + 3)
54 = n/2(39 - 3n)
54 = n/239 - n^2/2*3
54 = 39n - 3n^2/2
108 = 78n - 3n^2
3n^2 - 78n + 108 = 0

Решаем квадратное уравнение:
n = (-(-78) ± √((-78)^2 - 43108)) / 2*3
n = (78 ± √(6084 - 1296)) / 6
n = (78 ± √4788) / 6
n ≈ (78 ± 69.23) / 6

n1 ≈ (78 + 69.23) / 6 ≈ 23.21
n2 ≈ (78 - 69.23) / 6 ≈ 1.29

Ответ: количество чисел в арифметической прогрессии примерно равно 23 или 1. Так как количество членов должно быть целым числом, то в данном случае количество чисел равно 23.