Первообразной функции F(x) = 4sin(x) + cos(3x) будет функция G(x), такая что G'(x) = F(x). Давайте найдем эту функцию G(x).

Известно, что производная синуса sin(x) равна косинусу cos(x) (sin'(x) = cos(x)) и производная косинуса cos(x) равна минус синусу -sin(x) (cos'(x) = -sin(x)).

Также мы знаем, что производная sin(ax) равна acos(ax) и производная cos(ax) равна -asin(ax) (где a - константа).

Используя эти свойства, мы можем найти производные составляющих функции F(x) и затем проинтегрировать их:

F(x) = 4sin(x) + cos(3x)
F'(x) = 4cos(x) - 3sin(3x)

Интегрируя эти производные, получаем первообразную функции F(x):

G(x) = ∫F(x)dx = ∫(4cos(x) - 3sin(3x))dx
G(x) = 4∫cos(x)dx - 3∫sin(3x)dx
G(x) = 4sin(x) + 3/3cos(3x) + C
G(x) = 4*sin(x) + cos(3x) + C

Таким образом, первообразная функции F(x) = 4sin(x) + cos(3x) равна G(x) = 4*sin(x) + cos(3x) + C, где C - произвольная постоянная.