Пусть (o_1) и (o_2) - центры окружностей, а (r_1) и (r_2) - их радиусы (пусть (r_1 < r_2) без потери общности).

Тогда общая хорда, проходящая через точки пересечения окружностей, является стороной правильного вписанного шестиугольника в окружность с центром (o_2) и радиусом (r_2), и стороной правильного вписанного четырехугольника в окружность с центром (o_1) и радиусом (r_1).

Так как оба многоугольника вписаны в свои окружности, то общая хорда является их общим касательным относительно точки пересечения окружностей. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами (r_1), (r_2) и (d), где (d) - расстояние между центрами окружностей.

Из условий задачи известно, что (r_1 = 10\ см).

Пусть (\angle A = 30^\circ) (так как треугольник прямоугольный, а шестиугольник правильный, то у них соответствующие углы равны). Тогда (\angle B = 90^\circ), (\angle C = 60^\circ).

Применяя теорему косинусов к прямоугольному треугольнику (ABC), имеем:

[d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot \cos{60^\circ}]

[d^2 = 10^2 + r_2^2 - 2 \cdot 10 \cdot r_2 \cdot \frac{1}{2}]

[d^2 = 100 + r_2^2 - 10r_2]

Так как общая хорда является касательной к обоим окружностям и проходит через точки пересечения окружностей, она также является диаметром окружности с центром в точке пересечения окружностей. То есть, (d = 2r_2).

Подставляя это равенство в уравнение для (d^2), получаем:

[4r_2^2 = 100 + r_2^2 - 10r_2]

[3r_2^2 + 10r_2 - 100 = 0]

[r_2^2 + \frac{10}{3}r_2 - \frac{100}{3} = 0]

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения (r_2): (r_2 = 10\ см) и (r_2 = -\frac{20}{3}\ см). Так как радиус должен быть положительным числом, то (r_2 = 10\ см).

Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно (d = 2r_2 = 20\ см).