Для нахождения высоты треугольника ВН можно воспользоваться теоремой синусов.

По условию, угол ВАС = угол ВСА = 60 градусов, значит треугольник ВАС является равносторонним.
Таким образом, аналогично будет равносторонним и треугольник АВС.

Высота треугольника ВН, опущенная из вершины В на сторону АС, является медианой и также является биссектрисой.
Так как треугольник АВС равносторонний, медиана и биссектриса совпадают.

Теперь построим высоту треугольника ВН, обозначим точку пересечения высоты с основанием ВС как М.

Методом Фалеса найдем отношение ВМ к МС.

Так как треугольник ВСМ является прямоугольным, можно записать:

cos30 = 4 / ВМ
√3/2 = 4 / ВМ
ВМ = 4 * 2/√3 = 8 / √3

Теперь найдем длину стороны треугольника:
ВС = 2 АС = 2 4√3 = 8√3

Теперь найдем высоту ВН:
hn = √(ВС^2 - ВМ^2) = √((8√3)^2 - (8/√3)^2) = √(643 - 643) = √0 = 0

Таким образом, высота треугольника ВН равна 0.